[2015년 덕이고]

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[2학년 2학기 기말 미적분2]

함수 [eqn: f(x)= {x ^{2} +3e ^{x}} over {2e ^{x} -x}]에 대하여 [eqn: f `prime (1)]의 값은? [4.3점]

③

① [eqn: {-1} over {(2e-1) ^{2}}]	② [eqn: {2e} over {(2e-1) ^{2}}]	③ [eqn: {1} over {2e-1}]
④ [eqn: {2e+1} over {(2e-1) ^{2}}]	⑤ [eqn: {2(e+1)} over {(2e-1) ^{2}}]

미분 가능한 두 함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]에 대하여 다음 관계가 성립한다.

[eqn: h(x)=f ^{2} (x)+g ^{2} (x)]이고 [eqn: h(0)=5]일 때, [eqn: h(5)]의 값은? [4.5점]

(가) [eqn: f` prime (x)=g(x)]

(나) [eqn: f` prime prime (x)=-f(x)]

④

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 10]

두 함수 [eqn: f(x)=x ^{2} +2x-5], [eqn: g(x)=secx]의 합성함수
[eqn: h(x)=(f CIRC g)(x)]에 대하여 [eqn: h prime LEFT ( {pi } over {3} RIGHT )]의 값은? [4.3점]

⑤

① [eqn: sqrt { 3}]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 6sqrt { 3}]
④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 12 sqrt { 3}]

함수 [eqn: f(x)=ln(cotx) LEFT ( 0<x< {pi } over {2} RIGHT )]의 역함수 [eqn: g(x)]에 대하여
[eqn: lim _{h-> 0} {{2g(3h)- {pi } over {2}} over {h}}]의 값은? [4.7점]

③

① [eqn: -18]	② [eqn: -12]	③ [eqn: -3]
④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 12]

두 함수 [eqn: y=ln(x-2)], [eqn: y=e ^{x} +2]의 그래프와 일차함수
[eqn: y=-x+k]의 그래프가 만나는 두 점 사이의 거리가 최소가 될 때, 상수 [eqn: k]의 값은? [4.9점]

②

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 2sqrt { 3}]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 3sqrt { 2}]

방정식 [eqn: kx ^{2} e ^{-x} =2]이 오직 하나의 실근을 가질 때, [eqn: k]의 값이 될 수 있는 것은? (단, [eqn: e ^{2}]은 [eqn: 7.4]로 계산한다.) [4.8점]

①

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

함수 [eqn: f(x)=ln(x ^{2} +2)]에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [5.0점]

②

ㄱ. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f `prime (-x)=-f `prime (x)]이다.

ㄴ. [eqn: f(x)]의 도함수 [eqn: f prime (x)]의 최댓값은 [eqn: {sqrt {2}} over {2}]이다.

ㄷ. 곡선 [eqn: y=f(x)]의 변곡점의 [eqn: x]좌표의 곱은 [eqn: -4]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: x GEQ 0]일 때, 부등식 [eqn: cosx>k- {sqrt {2}} over {2} x ^{2}]이 항상 성립하기 위한 실수 [eqn: k]의 값의 범위는? [4.6점]

②

① [eqn: k` LEQ 0]	② [eqn: k<1]	③ [eqn: k` LEQ 1]
④ [eqn: k<2]	⑤ [eqn: k` LEQ 2]

곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (x,```y)]에서의 접선의 기울기가 [eqn: xe^x]이고, 이 곡선이 [eqn: LEFT ( -1,```- {2} over {e} RIGHT )]를 지날 때, [eqn: f(2)]의 값은? [4.6점]

④

① [eqn: -3e ^{2}]	② [eqn: -2e ^{2}]	③ [eqn: -e ^{2}]
④ [eqn: e ^{2}]	⑤ [eqn: 2e ^{2}]

함수 [eqn: f(x)= {2x} over {1+x ^{2}}]에 대하여
[eqn: F(x)= int _{0} ^{x} {tf(x-t)dt```````(x GEQ 0)}]
일 때, [eqn: F`` prime (a)=ln5]를 만족시키는 상수 [eqn: a]의 값은? [4.9점]

①

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]
④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 11]

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: f(n)= root {n} of {(n+1)(n+2) CDOTS 2n}]라 할 때,
[eqn: lim _{n-> INF } {ln LEFT ( {f(n)} over {n} RIGHT )}]의 값은? [5.0점]

①

① [eqn: 2 ln2-1]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2 ln2]
④ [eqn: ln {27} over {4}]	⑤ [eqn: 3 ln3]

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(x)=sinx+ {1} over {2} int _{0} ^{{pi } over {2}} {f(t)sintdt}]를 만족시킬 때,
[eqn: f LEFT ( {pi } over {6} RIGHT )]의 값은? [4.7점]

④

① [eqn: - {pi } over {4}]	② [eqn: {1} over {2} - {pi } over {4}]	③ [eqn: {pi } over {4}]
④ [eqn: {1} over {2} + {pi } over {4}]	⑤ [eqn: {pi } over {2}]

곡선 [eqn: y=e ^{x}]와 직선 [eqn: x=2] 및 [eqn: x]축과 [eqn: y]축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: A], 곡선 [eqn: y=lnx]와 직선 [eqn: x=e ^{2}] 및 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: B]라 할 때, [eqn: A+B]의 값은? [4.4점]

⑤

① [eqn: 2]	② [eqn: e]	③ [eqn: 2e]
④ [eqn: e^2]	⑤ [eqn: 2e^2]

두 곡선 [eqn: y=cos LEFT ( {pi x} over {2} RIGHT )], [eqn: y=1-x ^{2}]으로 둘러싸인 영역의 넓이는? [4.6점]

③

① [eqn: {2} over {3} - {4} over {pi }]	② [eqn: {2} over {3} - {2} over {pi }]	③ [eqn: {4} over {3} - {4} over {pi }]

④ [eqn: {2} over {3} + {2} over {pi }]	⑤ [eqn: {2} over {3} + {4} over {pi }]

그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 [eqn: 3]이고 높이가 [eqn: 5]인 직원기둥이 있다. 밑면의 중심을 지나고 밑면과 [eqn: 45 DEG]의 각을 이루는 평면으로 이 직원기둥을 잘랐을 때 생기는 두 입체도형 중 작은 것의 부피는? [4.7점]

⑤

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 18]

서술형

함수 [eqn: y=x ^{n}]의 도함수에 관한 물음에 답하시오. [총7.0점]

(1) [eqn: k=-n]일 때,

[eqn: { d} over {dx }( x^-k )= { d} over {dx } left({ 1} over { x^k} right)= { -kx^k-1} over { x^2k} =-kx^-k-1 =nx^n-1]

(2) [eqn: { d} over { dx}(x^n )= { d} over {dx }(e^{n ln x})= { n} over { x} e^{n lnx} = { n} over { x}x^n =nx^n-1]

(1) [eqn: n]이 [eqn: 0] 또는 음의 정수일 때, 함수 [eqn: y=x ^{n}]의 도함수가

[eqn: y prime =nx ^{n-1}]임을 보이시오. [3.0점]

(2) [eqn: n]이 실수일 때, 함수 [eqn: y=x ^{n}]의 도함수는 [eqn: y prime =nx ^{n-1}]인가?

맞으면 그 이유를 설명하고, 틀리면 함수 [eqn: y=x ^{n}]의

도함수를 올바르게 구하시오. [4.0점]

긴 변의 길이가 [eqn: 30], 짧은 변의 길이가 [eqn: 20]인 직사각형 종이가 평평한 면 위에 놓여 있다. 그림에 나타난 대로 한 귀퉁이를 더 긴 대변에 올려놓고 평평하게 접는다. 접은 선의 길이를 [eqn: L]이라 할 때, [eqn: L]의 최솟값을 구하는 과정이다. 물음에 답하시오. [총9.0점]

(1) [eqn: { 10x^2} over {x-10 }+x^2]

(2) [eqn: x=15], 최솟값 [eqn: 15 sqrt { 3}]

(1) 선분 [eqn: rmCQ]의 길이를 [eqn: x]라 할 때, [eqn: L ^{2}]을 [eqn: x]에 관한 식으로

나타내시오. [4.0점]

(2) [eqn: L ^{2}]을 최소화하는 [eqn: x]의 값과 [eqn: L]의 최솟값을 구하시오.

[5.0점]

적분 [eqn: int _{-1} ^{1} {{3x ^{2}} over {1+e ^{x}}} dx] 의 값을 구하시오. [6.0점]

[eqn: 1]

[eqn: int _{-1} ^{0} {} {3x ^{2}} over {1+e ^{x}} dx+ int _{0} ^{1} {} {3x ^{2}} over {1+e ^{x}} dx# ````````````````````````````````= int _{0} ^{1} {} {3t ^{2}} over {1+e ^{-t}} dt+ int _{0} ^{1} {} {3x ^{2}} over {1+e ^{x}} dx# ````````````````````````````````= int_0 ^1 3x^2 dx]

[eqn: x=-1]과 [eqn: x=1]에서 축에 수직인 평면 사이에 입체가 놓여 있다. [eqn: x]축에 수직인 절단면이 그것의 지름이 곡선 [eqn: y=x ^{2}]에서 곡선 [eqn: y=2-x ^{2}]까지 닿아있는 원이다. 이 입체의 부피를 [eqn: V]라 할 때, [eqn: {15} over {pi } V]의 값을 구하시오. [8.0점]

[eqn: 16]

[2015년 덕이고]

[2학년 2학기 기말 미적분2]

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